摘要：現代工程測量的發展具有高精度、大跨度的顯著特點，其平差慣用的數學面多為高斯平面，目前高斯投影計算公式的近似表達式的精度已不能滿足現代精密工程控制網整體平差的需求。本文通過增加高斯投影正算高階項系數和改進高斯投影反算的迭代方法，提高投影精度，擴展了投影帶寬度。
　　關鍵詞：高斯投影；大地坐標；高斯平面坐標；牛頓迭代法
　　一、引言
　　高斯投影是正形投影的一種，具有投影長度比與方向無關，投影前后角度不變等優點，廣泛應用于各種工程項目中。地球橢球面是一個不可展曲面，而地圖是一個無裂縫無重疊的平面，高斯投影采用泰勒級數展開的方法將地球橢球面轉換到地圖平面，但由于展開式為無窮級數，且高次項系數極為復雜，所以現在一般選取低次項系數做近似替換。為了克服投影變形，通常采取分帶投影的方法，我國規定按經差6°和3°進行投影分帶[1]。隨著工程項目跨度逐步增大，東西跨度早已超過6°帶的投影范圍，這就意味著需要新的方法來實現大跨度高精度的高斯投影。
　　本文根據高斯投影的一般原理，將投影正算公式展開至第9項。同時，對于高斯投影反算，現在多采用迭代的方法先求得底點緯度Bf，再將Bf代入反算公式求得大地經緯度[2]。由于反算公式高階項系數推導困難，反算精度受限。本文根據多元非線性函數的牛頓迭代算法[3]，推導出了由高斯平面坐標(x、y)直接迭代求得大地坐標(B、L)的迭代公式，有效的避開了反算公式高階項系數缺失的問題。本文分別以12°、24°為帶寬，計算分析投影精度。結果表明，投影精度有較大提高，投影帶寬度得到相應的擴展。
　　二、高斯投影坐標正算
　　高斯投影正算是已知大地坐標（B，L），求高斯平面坐標（x，y）。高斯投影正算公式為
　　(1)
　　式中，x、y為高斯平面坐標，x0為子午線弧長，l為經差，()是緯度的函數。計算公式為
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　式中，為橢球長半徑，為第一偏心率，為第二偏心率，為該投影帶中央子午線經度，為大地緯度，為投影點到的大地經度差，，以弧度為單位。，，。
　　三、高斯投影坐標反算的牛頓迭代算法
　　高斯投影坐標反算是已知投影帶中央子午線經度和高斯平面坐標(x，y)，反解大地經緯度(B，L)。傳統反算方法為先迭代算出底點緯度Bf，然后代入反算公式，進而求得大地坐標(B，L)[4-6]。雖然運用了迭代的思想，可是仍然受到反算公式高次項缺失的制約，導致反算的精度不理想。本文采用多元非線性牛頓迭代法，無需解算底點緯度Bf，直接由高斯平面坐標(x，y)迭代算出大地坐標(B，L)。若計算機性能許可，可以達到任意精度。
　　由(1)式得
　　(5)
　　令
　　(6)
　　則
　　(7)
　　得如下迭代格式：
　　(8)
　　當同時滿足
　　(9)
　　時終止迭代。其中根據具體要求而定。
　　四、精度分析
　　根據以上所推公式，用C#語言編寫12°、24°帶高斯投影正反算程序（取1×10-16）。在緯度為45°處取點，其大地坐標為（B0,L0）。首先將該點歸算到高斯投影平面上，求得它的高斯平面坐標，再用迭代反算求得該點的大地坐標（B1,L1）。（B0,L0）與（B1,L1）相減，即可得到投影誤差（△B,△L）。其結果見表1和表2。
　　表1采用12°帶高斯投影坐標正反算結果對照表
　　B（°′″） L（°′″）
　　
　　45 00 00 
　　11 59 00
　　
　　45 00 
　　
　　11 59 
　　
　　
　　0 00 
　　
　　0 00 
　　
　　表2采用24°帶高斯投影坐標正反算結果對照表
　　B（°′″） L（°′″）
　　
　　45 00 00 
　　23 59 00
　　
　　45 00 
　　
　　23 59 
　　
　　
　　0 00 
　　
　　0 00 
　　
　　由以上結果可知，當帶寬為12°時，投影帶邊沿投影精度可達4×10-9s。當帶寬擴展為24°時，在投影帶邊沿投影精度達1×10-6s。
　　五、結束語
　　本文將高斯投影正算公式展開至第9項，同時采用多元非線性函數的牛頓迭代法進行投影反算。通過實驗分析可知，采用該方法進行投影計算，在24°投影帶的邊沿處，正反算經緯度差值小于0.000001s，投影精度較高。
　　目前我國正在修建的以高速鐵路為代表的大型工程對測量的精度要求很高，所采用的高斯投影獨立坐標系每個投影帶可控制范圍很小，給施工測量帶來很多不便。通過本文所述的方法進行投影計算，能在很大程度上拓寬每個投影帶的投影寬度，對這種大跨度、高精度的工程項目的投影計算有一定的借鑒意義。
　　參考文獻：
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　　[2]孔祥元，梅是義.控制測量學[M].武漢：武漢大學出版社,1996.
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